瞬間部分積分

・証明

これも，こちら，を参考にしました．まず，

\( \Large \displaystyle f^{n+1}(x) = 0 \)

となる関数を考えます．微分しない関数からかぞれるので，n=0からｎまで例えば，

\( \Large \displaystyle f(x) =x^2 \)

ならば，n=2，で０となるので，

　n=0：\( \Large \displaystyle f(x) =x^2 \)
　n=1：\( \Large \displaystyle f'(x) =2x \)
　n=2：\( \Large \displaystyle f''(x) =2 \)

と３回となります．

また，g(x)に関しては，ｋ回不定積分したものを，

\( \Large \displaystyle G_k(x) \)

とします．つまり，

となり，一般の形に直すと，

\( \Large \displaystyle h(x) = f(x)G_1(x) - f'(x)G_2(x) + f''(x)G_3(x) - .......+ (-1)^n \ f^{(n)} G_{n+1}(x) \)

となります．これを微分すると，各項は，

第一項：\( \Large \displaystyle [ f(x)G_1(x)]' = f'(x)G_1(x) +f(x) \{ G_1(x) \}' = \color{red}{f'(x)G_1(x)} +f(x)g(x)\)

第二項：\( \Large \displaystyle -[ f'(x)G_2(x)]' = -f''(x)G_2(x) -f'(x) \{ G_2(x) \}' = \color{blue}{-f''(x)G_2(x)} \color{red}{-f'(x)G_1(x)} \)

第三項：\( \Large \displaystyle [ f''(x)G_3(x)]' = f'''(x)G_3(x) +f''(x) \{ G_3(x) \}' = f'''(x)G_3(x) +\color{blue}{f''(x)G_2(x)}\)

第n項：\( \Large \displaystyle (-1)^n [ f^{(n)} (x)G_{n+1}(x)]' = (-1)^n [\color{green}{f^{n+1}(x)}G_{n+1}(x) +f^{(n)}(x) \{ G_{n+1}(x) \}'] = (-1)^n f^{(n)}(x) G_{n}(x) \)

と第一項と第二項の赤同士，第二項と第三項の青同士がキャンセルされます．

また，第ｎ項の第一項は，微分の定義，fⁿ⁺¹(x)=0，より０となりますし，最後に残った項も，n-1項のところでキャンセルできるので，第一項のf(x)g(x)だけが残り，

\( \Large \displaystyle h'(x) = f(x)g(x) \rightarrow h(x) = \int f(x)g(x) \ dx\)

となり，証明することができました．